شکل ۲-۵ : نمودار تغییرات زمانی پهنای فصل مشترک برای چندین سیستم(به ترتیب از پایین سایز سیستم ۱۰۰و۲۰۰ و۴۰۰ و ۸۰۰ می باشد.) ]۱۶[
۲-۵-۲ رابطه مقیاس
برای مقایسه نمودارهای رسم شده در سایز های مختلف سیستم باید نمودارها در دو راستای x و y بر یکدیگر منطبق شوند، به این منظور باید جابجایی هایی در راستای افقی و عمودی صورت گیرد. همان طور که می دانیم سیستم به ازای سایزهای مختلف، زمان های اشباع و زبری های متفاوتی دارد. در مرحله نخست برای انطباق نمودارها باید زبری آنها را بر هم منطبق سازیم. برای این امر باید زبری Wرا بر زبری اشباع یعنی تقسیم کرد، با این کار یک جابجایی در راستای قائم صورت می گیرد و منحنی ها با زبری یکسان Wsat به اشباع می رسند که مستقل از اندازه ی سیستم است. در مرحله بعد باید زمان های اشباع را بر یکدیگر منطبق سازیم ، برای این کار باید زمان t را بر زمان اشباع یعنی تقسیم کنیم ، با این کار یک جابجایی در راستای افقی صورت می گیرد. در نهایت تمام منحنی ها در دو راستا بر یکدیگر منطبق می شوند و به یک منحنی تبدیل می شوند. به این ترتیب می توانیم آنها را باهم مقایسه کنیم. بر طبق نمودار های رسم شده، تابع معیار به صورت زیر تعریف می شود:
(۲-۷)
تابع اندازه گیری تابع معیار یا سنجش نامیده می شود. با جایگذاری Wsat و tx در رابطه بالا، تابع معیار ویکسک-فامیلی[۳۰] به دست می آید:
(۲-۸)
باتوجه به هم ارزی دو ناحیه معیار متفاوت وجود دارد:
(۲-۹)
(۲-۱۰)
تابع معیار به عنوان تابعی از باعث می شود که منحنی ها در نقطه ای با زمان مشخص به حد اشباع یکسانی برسند.
شکل ۲-۶ : تصویری شماتیک از بازسنجی پهنای فصل مشترک نسبت به زمان (تغییرات تابع g(u))
۲ – ۶ فرکتال
برای درک روابط مقیاسی یک زبان طبیعی وجود دارد و آن، زبان فرکتال ها است. در این قسمت به مطالعه تاریخچه فرکتال ها، مفهوم هندسه فرکتالی و انواع آن می پردازیم.
۲-۶-۱ تاریخچه و معرفی فرکتال
واژه فرکتال در لغت به معنای سنگی است که به شکل نامنظم شکسته شده باشد. از این هندسه اشکالی مورد بررسی قرار می گیرند که بسیار نامنظم به نظر می رسند، اما اگر با دقت به شکل نگاه کنیم متوجه می شویم که تکه های کوچک آن کم و بیش شبیه به کل شکل هستند. به عبارتی جزء در این اشکال، نماینده ای از کل است، به چنین اشکالی، خود متشابه می گویند. فرکتال در ریاضیات به یک شکل هندسی که مرکب از چند جزء است، گفته می شود. به این معنی که آنها دارای ویژگی هایی هستند که هر قسمت کوچک از فرکتال می تواند عین مقیاس کاهش یافته یک فرکتال، بدون هیچ بزرگ یا کوچک نمایی شده، دیده شود. یعنی با توجه کردن روی هر قسمت فرکتال باز هم همان شکل کلی فرکتال نمایان باشد. از وقتی که برای اولین بار در قرن نوزدهم پدیدار شدند تنها به صورت غیر تجربی و خیالی مورد مطالعه قرار گرفته اند. نقطه عطف مطالعه فرکتال ها، کشف هندسه فرکتال توسط ریاضیدان فرانسوی لهستانی الاصل، بنوئیت مندلبورت بود.
تئوری فرکتال ها علاوه بر زیبایی خاصی که از دید ریاضی دارد یکی از روش های بسیار کاربردی در تفسیر و مدل سازی طبیعت می باشد. مندلبورت با این تئوری پایه گذار هندسه جدیدی شد که به آن هندسه بدون اندازه یا هندسه فرکتالی می گویند. هندسه فرکتالی یکی از شاخه های جدید ریاضیات است که در برابر تفسیر و شبیه سازی اشکال مختلف طبیعت از خود انعطاف و قابلیت بی نظیر نشان داده است. با به کارگیری هندسه فرکتالی، افق روشنی پیش روی ریاضیدانان و محققان در زمینه بازگو کردن رفتار توابع و مجموعه های به ظاهر ناهموار و پرآشوب قرار گرفت. اشکال فرکتالی به طور شگفت انگیزی با زندگی روزمره گره خورده اند. با کمی دقت به اطراف خود می توان بسیاری از این اشکال را یافت. از گل فرش زیر پا و گل کلم درون مغازه های میوه فروشی گرفته تا شکل کوه ها، ابرها، دانه های برف و باران، شکل ریشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شکل سرخس ها، سیاهرگ و شش و …همه این ها نمونه هایی از اشکال فرکتالی هستند.
۲-۶-۲ انواع فرکتال
در یک تقسیم بندی می توان فرکتال ها را به دو نوع همسانگرد (خود متشابه) و ناهمسانگرد (خود ترکیب) تقسیم نمود.
۲-۶-۲-۱ فرکتال همسانگرد
یک جسم می تواند خود متشابه باشد، اگر از بخش هایی شکل گرفته باشد که مشابه با شکل کلی آن است. خود شبیه بودن به این معنا است که تناسبات نسبی بین وجوه شکل، همانند قبل باقی بماند. یعنی نسبت فاصله بین دو نقطه به مقیاسی که در آن مشاهده انجام می شود، بستگی نداشته باشد و این نسبت تغییر نکند و ثابت بماند.
مثلاً کوچک کردن یک سند چاپی با دستگاه کپی یک تغییر شکل خود شبیه است، چون همان شکل قبلی می باشد منتهی مقیاس آن تغییر کرده است و به عبارتی بزرگ نمایی یا کوچک نمایی شده است. خود متشابهی یعنی آرایشی تکرار شونده داشتن، یعنی اگر ساختار اولیه را چند تکه کنیم، هر قسمت تکراری از قسمت دیگر است. به بیان دیگر هر جزء آن نماینده ای از کل است.
برای درک بهتر این موضوع به معرفی فرکتالی ساده می پردازیم و چگونگی ساخت آن را شرح می دهیم.
یکی از مشهورترین فرکتال ها توسط ریاضیدانی به نام فون کخ در سال ۱۹۰۴ ابداع شد،شکل (۲-۷). این فرکتال که به دانه برفی کخ شهرت دارد از یک مثلث متساوی الاضلاع ساخته شده که هر ضلع آن را به سه قسمت مساوی تقسیم شده است، سپس به جای پاره خط وسط هر ضلع، یک مثلث متساوی الضلاع دیگر جایگزین شده و این عمل بار ها تکرار شده است. این فرکتال را خود متشابه گویند، چرا که هر قسمت آن با قسمت بزرگتر مشابه است و گویی همان قسمت، پی در پی تکرار می گردد.
شکل ۲-۷ : طرح شماتیک ساخت فرکتال دانه برفی کخ
به منظور توصیف کمی یک سیستم خود متشابه باید ابتدا به تعریف ابعادی همچون، بعد dE (کوچکترین بعد اقلیدسی)و بعد هوسدورف[۳۱] (HB) یا بعد فرکتالی بپردازیم. برای تخمین بعد فرکتالی از مفهوم خود تشابهی استفاده می کنیم. یک شی ء فرکتالی به حجم V(l)را که توسط گوی هایی به اندازه l پر شده است را در نظر بگیرید، فرض کنید که تعداد گوی های لازم برای این کار N(l) باشدو است. اشیایی که در آن ها df < dE باشد را فرکتال می نامند که df بعد فرکتال است و از رابطه (۲-۱۱) داریم:
(۲-۱۱)
